Box ist nicht eingeschaltet... LAN-Kabel steckt nicht... Router ist aus...

Ohne irgendwelche Angaben, kann das alles sein. Da kann man keine Tipps geben.
Wie ist die Box angebunden, LAN oder WLAN?
Was für einen Router hast Du? Wenn das eine Fritbox ist, siehst Du die Box in der Fritzbox?

Geht wirklich überhaupt keine Netzwerkverbindung mehr, oder "nur" kein Web-Interface oder keine Samba-Freigabe?

Was zeigt die Box im Netzwerk-Menü an?
Hast Du den Netzwerk-Test aus dem Menü schonmal durchgeführt?

Immerhin von einem halben Dutzend Fragen zwei beantwortet.
Mal sehen, ob dir auf dieser Grundlage jemand helfen kann...

was sagt der Router? Vielleicht hat der Stromausfall den zurückgesetzt? Ausser der VU-Box funktioniert noch alles?
Edit
In der Fritzbox die VU noch mit IP gelistet? Rückseite, Netzwerkbuchse leuchten LED's?

Die Frage nicht verstanden, oder nicht richtig gelesen?

Wenn du keinen Namen vergeben hast, nur mit der IP.

JA, unter Heimnetz -> Netzwerk -> Netzwerkverbindungen alle Geräte gelistet. Neustart über das Ausschaltmenue der Box gemacht?
Edit
I. d. R. liest die FB den Netzwerk Namen der Geräte aus. Bei mir alle VU Boxen mit Namen & IP, ohne selbst eingetragen zu haben.